[백준] 1011 번 : Fly me to the Alpha Centauri / C++

[문제]

https://www.acmicpc.net/problem/1011

1011번: Fly me to the Alpha Centauri

문제 :

우현이는 어린 시절, 지구 외의 다른 행성에서도 인류들이 살아갈 수 있는 미래가 오리라 믿었다. 그리고 그가 지구라는 세상에 발을 내려 놓은 지 23년이 지난 지금, 세계 최연소 ASNA 우주 비행사가 되어 새로운 세계에 발을 내려 놓는 영광의 순간을 기다리고 있다.

그가 탑승하게 될 우주선은 Alpha Centauri라는 새로운 인류의 보금자리를 개척하기 위한 대규모 생활 유지 시스템을 탑재하고 있기 때문에, 그 크기와 질량이 엄청난 이유로 최신기술력을 총 동원하여 개발한 공간이동 장치를 탑재하였다. 하지만 이 공간이동 장치는 이동 거리를 급격하게 늘릴 경우 기계에 심각한 결함이 발생하는 단점이 있어서, 이전 작동시기에 k광년을 이동하였을 때는 k-1 , k 혹은 k+1 광년만을 다시 이동할 수 있다. 예를 들어, 이 장치를 처음 작동시킬 경우 -1 , 0 , 1 광년을 이론상 이동할 수 있으나 사실상 음수 혹은 0 거리만큼의 이동은 의미가 없으므로 1 광년을 이동할 수 있으며, 그 다음에는 0 , 1 , 2 광년을 이동할 수 있는 것이다. ( 여기서 다시 2광년을 이동한다면 다음 시기엔 1, 2, 3 광년을 이동할 수 있다. )

김우현은 공간이동 장치 작동시의 에너지 소모가 크다는 점을 잘 알고 있기 때문에 x지점에서 y지점을 향해 최소한의 작동 횟수로 이동하려 한다. 하지만 y지점에 도착해서도 공간 이동장치의 안전성을 위하여 y지점에 도착하기 바로 직전의 이동거리는 반드시 1광년으로 하려 한다.

김우현을 위해 x지점부터 정확히 y지점으로 이동하는데 필요한 공간 이동 장치 작동 횟수의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하라.

 

입력 : 

입력의 첫 줄에는 테스트케이스의 개수 T가 주어진다. 각각의 테스트 케이스에 대해 현재 위치 x 와 목표 위치 y 가 정수로 주어지며, x는 항상 y보다 작은 값을 갖는다. (0 ≤ x < y < 2^31)

 

출력 :

각 테스트 케이스에 대해 x지점으로부터 y지점까지 정확히 도달하는데 필요한 최소한의 공간이동 장치 작동 횟수를 출력한다.

[코드 풀이]

[실패한 코딩]

모든 경우의 수를 철저히 확인하지 않아서 틀렸다. 딱히 알고리즘적으로 문제가 생긴 건 아니지만 그래도 올려보자.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL);
	cout.tie(NULL);

	int test_cnt, depart, desti;
    int dist;
    int k1a,k1,k2,k2c1;
	cin >> test_cnt;
    for(int i=0; i<test_cnt;i++){
        cin >> depart >> desti;
        dist=desti-depart;
        k1a=(sqrt(dist));
        k1= pow(k1a,2);
        k2= pow(k1a+1,2);
        k2c1= (k1+k2)/2;
        if(dist==k1){
            cout << k1a + k1a -1 << '\n';
            continue;
        }
        if(dist < k2c1){
            cout << k1a +k1a <<'\n';
        }else{
            cout << k1a+k1a +1 << '\n';
        }
    }

		

	return 0;
}

[성공한 코딩]

test_cnt는 테스트 케이스 수, depart는 출발지점 좌표, desti는 도착지점 좌표.

dist는 출발-도착 거리.

• k1a 는 거리의 제곱근의 정수.
• k1은 k1a를 다시 제곱한 수, k2는 (k1a+1)을 제곱한 수이다.
• k2c1은 k1과 k2을 2로 나눈 것의 정수이다.

 왜 제곱근을 하고, 제곱하고, k2c1은 왜 저렇게 했는지는 수학 설명에 나와있다. 아래 코드는 그 수학적 풀이를 그대로 옮긴 것으로 그렇게 어렵거나 복잡하게 짠 것은 아니라 수학을 이해하면 된다.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);

    int test_cnt, depart, desti;
    int dist;
    long long int k1a, k1, k2, k2c1;
    cin >> test_cnt;
    for (int i = 0; i < test_cnt; i++) {
        cin >> depart >> desti;

        dist = desti - depart;
        k1a = (sqrt(dist));
        k1 = pow(k1a, 2);
        k2 = pow(k1a + 1, 2);
        k2c1 = (k1 + k2) / 2;

        if (dist == k1) {
            cout << k1a + k1a - 1 << '\n';
            continue;
        }
        if (dist <= k2c1) {
            cout << k1a + k1a << '\n';
        }
        else {
            cout << k1a + k1a + 1 << '\n';
        }
    }

    return 0;
}

 

[수학적 설명]

먼저 문제를 설명하자면,

• 우주선의 이동 거리는 그대로 유지하거나 원래 이동 거리에 -1 하거나 +1 해서 이동한다. 그렇게 최대한 적은 횟수로 우주선을 움직여야하고,
• 우주선은 도착지점에서 1광년 만큼의 거리로 도착할 수 있도록 감속(?)해야 한다. 

즉, 가속 구간과 감속 구간이 있다. 처음에는 2번 째 조건에 초점을 맞춰서 이동 거리를 조절하여 최대한 적은 횟수로 갈 수 있도록 정했다.(도착 지점 이전에 1광년, 그 이전에는 1광년 아니면 2광년, 그 전전에는 그 이전이 1광년이었으면 1 아니면 2, 2광년이었으면 2광년 아니면 3광년 ... 이렇게)

 

 브레이크 메커니즘이 있겠구나 싶어서 했더니 갑자기 정수의 제곱 수가 보였다. (여기서 브레이크 메커니즘은 제 글의 맥거핀입니다. 브레이크 메커니즘은 주의 깊게 보지 마세요.)

 처음에는 감속 구간의 규칙을 찾고, 가속 구간은 그리디 알고리즘따라서 하면 되겠거니 해서 만들어보니,

Break Mechanism은 이동 횟수가 늘어나게 되는 조건을 찾았다. 그 조건을 일반화하다 보니 9, 16, 25로 제곱 수가 보였고, 브레이크 메커니즘이고 뭐고 안 해도 되겠다 싶어서 바로 버렸다.

 

 그래서 찾게 된 거는 제곱근만큼에 하나 적거나 혹은 같은 수가 더해진다는 사실을 알았고, 이 기준을 찾아보았다.

그래서 위의 접은 글을 통해서 파악한 단서를 통해서 아래 접은 글처럼 일반화를 성공시켰다.

위에서 찾은 단서를 더 정확하게 찾고 일반화하고자 경우를 차근 차근 다 세어보았다.

 그래서 찾은 게 ['거리의 제곱근의 정수'의 제곱]부터 ['거리의 제곱근의 정수'에 1을 더한 수의 제곱]이 하나의 범위로, 규칙을 찾을 수 있었고, 그 범위 안에서도 규칙이 있다는 것을 파악했다.

 그 범위 안에서는 제곱근 * 2의 이동횟수와 제곱근 * 2 +1의 이동횟수가 갈리는데 그 기준은 [범위의 기준점을 각각 더하고 2로 나눈 수]가 기준이었다.

 

파란 글씨로 휘갈겨 쓴 게 일반화한 규칙이다.

 

+여기서 같이 문제를 푼 후배는 가속, 감속의 대칭에 초점을 두어서 규칙을 찾았다. 1,4,9,16,25만큼의 거리에서 어떻게 이동횟수가 결정되고, 이동할 때의 모든 수를 나열했고, 마치 피라미드처럼 보였다. 피라미드처럼 보이는 수열에서 각 제곱 수의 기준을 통해서 다음 범위로 넘어갈 때 어떻게 이동횟수가 결정되는지 파악했다.

 

나는 마치 수학적 귀납법처럼 모든 케이스를 일반화 했고, 후배는 수열의 특징을 찾아 일반항을 구한 느낌이다.

 

[후기 및 배운 점]

 수학 논술 푸는 것 같아서 재밌었다. 수학 공부가 다시금 재밌어진다. 후배랑 같이 다른 방식으로 같은 규칙을 찾았다는 게 되게 신기했다.(거의 비슷한 시간에 다른 방식을 찾아서 신기했다.) 편입 수학을 공부한 게 조금은 도움이 된 것 같기도 하다. 요즘 편입 준비를 다시 해볼까 고민된다.

 

#문제에 주어진 입력의 조건 중에 2의 31승은 int형의 끝자락이었다. 여기서 또 나는 제곱하고, 제곱근을 구하는데 int의 범위를 벗어난다는 걸 잊어서 또 '틀렸습니다.'를 보게 됐다. 항상 확인하고, 변수에 저장되는 범위를 확인하자. 그래도 이번엔 금방 찾았어.

 

#코드는 간단한데 수학을 도출하는 게 어려웠다. 그래도 골드 5수준에서 요구하는 걸 파악했다. 너무 어렵게 풀 생각은 안 해도 될 것 같다.

 

#후배가 계속 '틀렸습니다' 뜬다고 하길래 봤더니 Java는 print와 println을 잘 확인해줘야한다는 걸 봤다. 나야 cout 쓰니까 상관 없었다.